Lista de Estatatística - Normal

                                               Aproximação da distribuição binomial pela distribuição normal

1) Uma amostra aleatória de 15 pessoas é obtida de uma população em que 40% têm uma determinada posição política. Qual é a probabilidade de exatamente 6  indivíduos na amostra ter essa determinada posição política? 

Resposta: 0,2066

2) Uma distribuição binomial de probabilidade tem p = 0,20 e n = 100.

a) Qual é a média e qual é o desvio padrão?

b) Qual é a probabilidade de haver exatamente 24 sucessos?

c) Qual é a probabilidade de 18 a 22 sucessos?

d) Qual é a probabilidade de 15 sucessos ou menos?

3) Suponha que uma distribuição binomial de probabilidade tem p = 0,60 e n = 200.

a) Qual é a média e qual é o desvio padrão?

b) Qual é a probabilidade de 100 a 110 sucessos?

c) Qual é a probabilidade de 130 sucessos ou mais?

d) Qual é a vantagem de usarmos a distribuição normal de probabilidade para aproximar as probabilidades binomiais?

4) Estima-se que cerca de 30% dos frangos congelados contenham suficiente número de bactérias salmonelas causadoras de doenças, se forem assados inadequadamente. Um consumidor compra 12 frangos congelados. Qual é a probabilidade do consumidor ter mais de 6 frangos contaminados?

Resposta: 0,039

5) Refere-se à questão 2 anterior. Suponha que um supermercado compre 1000 frangos congelados de um fornecedor. Encontre um intervalo aproximado (proporção de 95%) referente ao número de frangos congelados que possam estar contaminados.

Resposta: 270 a 330(328 e 329)

6) Estima-se que, no máximo, seja de 70% a proporção de peixes capturados, em determinadas regiões dos Grandes Lagos, com câncer de fígado devido aos poluentes presentes. Encontre um intervalo aproximado de 95% para o número de peixes com câncer de fígado em uma amostra de 130 peixes.

Resposta: 80 a 102

7) A probabilidade de uma máquina produzir um item defeituoso é 0,20. Se uma amostra aleatória de 6 itens é obtida desta máquina, qual é a probabilidade de haver 5 ou mais em itens defeituosos na amostra?

Resposta: 0,0016

8) Considere 100 doadores escolhidos aleatoriamente de uma população onde a  probabilidade de tipo A é 0,40? Qual a probabilidade de pelo menos 43 doadores terem sangue do tipo A?

Resposta: 0,27 aproximadamente

9) Suponha que na FOSJC-UNESP, 30% dos alunos vivam em apartamentos. Se 200 alunos forem selecionados aleatoriamente, qual é a probabilidade do número de alunos, que vivem em apartamentos, estar entre 50 e 75, inclusive?

 Resposta: 0,929 aproximadamente

10) A taxa de desemprego em certa cidade é de 10%. É obtida uma amostra aleatória de 100 pessoas. Qual a probabilidade de uma amostra ter, pelo menos, 15 pessoas desempregadas.

Resposta: 0,067 aproximadamente 

11) Vazamentos de tanques de gasolina subterrâneos em postos de gasolina podem prejudicar o meio ambiente. Estima-se que 25% desses tanques apresentam vazamento. Você examina 15 tanques escolhidos ao acaso, independentes entre si.

a) Qual é o número médio de tanques com vazamento em tais amostras de 15?

b) Qual é a probabilidade de 10 ou mais dos 15 tanques apresentarem vazamento?

c) Você agora faz um estudo maior, de âmbito nacional, examinando uma amostra aleatória de 1000 tanques. Qual é a probabilidade de pelo menos 275 desses tanques apresentarem vazamento?

Respostas: (a) 3,75 tanques com vazamento. (b) 0,0008. (c) 0,0336.

12)  A chance de determinada ação subir em um dia normal de pregão em bolsas de valores é aproximadamente igual a 62%. Calcule a probabilidade de que, em 300 dias, a ação suba em:

a) pelo menos 170 dias;

b) no máximo, 195 dias;

c) entre 165 e 185 dias.

13) Com base em experiências anteriores, uma empresa de saneamento básico sabe que 12% das contas dos seus clientes de uma comunidade são pagas com atraso. Para cada item seguinte obtenha a solução, empregando a distribuição normal.

a) se 60 contas são enviadas pela empresa, qual é a probabilidade de que pelo menos 9 sejam pagas com atraso?

b) se 300 contas são enviadas, encontre a probabilidade de que 34 ou mais sejam pagas com atraso.

14) O diabetes ocorre em 1,8% das pessoas de uma determinada população. Qual a probabilidade de que uma amostra de 60 pessoas contenha dois ou mais diabéticos? Suponha a validade da distribuição normal.

15) Ao assinar um contrato de cartão de crédito você o lê cuidadosamente? Em uma pesquisa realizada pela FindLaw.com, foi feita a seguinte pergunta às pessoas: “Quão minuciosamente você lê um contrato de cartão de crédito”? (...). As descobertas revelaram que 44% leem cada palavra, 33% leem o suficiente para entender o contrato, 11% dão apenas uma olhada e 4% não leem absolutamente.

a) Em relação a uma amostra de 500 pessoas, quantas você acha que diriam que leem cada palavra de um contrato de cartão de crédito?

b) Em relação a uma amostra de 500 pessoas, qual a probabilidade de 200 ou menos dizerem que leem cada palavra de um contrato de cartão de crédito?

c) Em relação a uma amostra de 500 pessoas, qual a probabilidade de pelo menos 15 dizerem que não leem os contratos de cartão de crédito?

Lista de Estatística - Mista

01. Uma empresa produz televisores de dois tipos, tipo A (comum) e tipo B (luxo), e garante a restituição da quantia paga se qualquer televisor apresentar defeito grave no prazo de seis meses. O tempo para ocorrência de algum defeito grave nos televisores tem distribuição normal sendo que, no tipo A, com média de 10 meses e desvio padrão de 2 meses e no tipo B, com média de 11 meses e desvio padrão de 3 meses. Os televisores de tipo A e B são produzidos com lucro de 1200 u.m. e 2100 u.m. respectivamente e, caso haja restituição, com prejuízo de 2500 u.m. e 7000 u.m., respectivamente.

 (a) Calcule as probabilidades de haver restituição nos televisores do tipo A e do tipo B. 

(b) Calcule o lucro médio para os televisores do tipo A e para os televisores do tipo B. 

(c) Baseando-se nos lucros médios, a empresa deveria incentivar as vendas dos aparelhos do tipo A ou do tipo B?

02. A média dos diâmetros internos de uma amostra de 200 arruelas produzidas por uma certa máquina é 0,502 cm e o desvio-padrão é 0,0005. A finalidade para qual essas arruelas são fabricadas permite a tolerância máxima, para o diâmetro, de 0,496 a 0,508 cm. Se isso não se verificar, as arruelas serão consideradas defeituosas. Determinar a percentagem de arruelas defeituosas produzidas pela máquina, admitindo-se que os diâmetros são distribuídos normalmente.

03. Uma fábrica de carros sabe que os motores de sua fabricação têm duração normal com média 150000 km e desvio-padrão de 5000 km. Qual a probabilidade de que um carro, escolhido ao acaso, dos fabricados por essa firma, tenha um motor que dure: (a) Menos de 170000 km? (b) Entre 140000 km e 165000 km? (c) Se a fábrica substitui o motor que apresenta duração inferior à garantia, qual deve ser esta garantia para que a porcentagem de motores substituídos seja inferior a 0,2%?

04. Suponha que as notas em certa disciplina estão normalmente distribuídas com média 5,0 e desvio padrão 1,5:

a) determine o percentual de estudantes com nota superior a 8,0;

b) se a nota mínima para obter aprovação e 3,0, determine o percentual de estudantes reprovados;

c) explique por que a probabilidade de um estudante dessa população obter nota acima de 9,8 é praticamente zero.

05. ) Para as famílias de certos status sócio-econômico, a despesa com alimentação é normalmente distribuída com média de 1400 unidades monetárias, com desvio-padrão de 180 unidades monetárias. Considerando um total de 16000 famílias desta classe social, determine o número de famílias em que o gasto com alimentação seja:

a) maior que 1600 unidades monetárias;

b) menor que 1700 unidades monetárias.

Lista de Estatística - Distribuição Normal

1) Dada uma distribuição normal com média 12 e desvio padrão 1,5, calcular:

a) P( x     b) P( x         c) P( 10  13)     

Respostas: a) 9,18%      b) 99,62%       c) 65,68%

2) Dada uma distribuição normal com média 8 e variância 16, calcular:

a) P( x  15)      b) P( x 5)

Respostas: a) 4,01%    b) 22,66%

3) Dado que z é uma variável aleatória normal padrão, encontre z para as seguintes situações:

a) a área entre 0 e z é de 0,4750

b) a área entre 0 e z é de 0,2291

c) a área a esquerda de z é de 0,2119

d) a área entre – z e z é de 0,2052

e) a área à esquerda de z é de 0,9948

f) a área à direita de z é de 0,6915

4) A quantia média que pais e filhos gastaram por criança na compra de roupas para retorno às aulas no outono de 2001 foi de US$ 527 (CNBC, 5 de setembro de 2001). Suponha que o desvio padrão seja de US$ 160 e que a quantia gasta esteja distribuída normalmente.

a) Qual é a probabilidade de a quantia gasta com uma criança escolhida aleatoriamente ser superior a US$ 700?

b) Qual é a probabilidade de a quantia gasta com uma criança escolhida aleatoriamente ser inferior a US$ 100?

c)Qual é a probabilidade de a quantia gasta com uma criança escolhida aleatoriamente estar entre US$ 450 e US$ 700?

d) Qual é a probabilidade de a quantia gasta com uma criança escolhida aleatoriamente não ultrapassar a US$ 300?

5) Em janeiro de 2003 o trabalhador norte-americano passou em média 77 horas conectado à internet enquanto se encontrava no trabalho (CNBC, 15 de março de 2003). Suponha que os tempos estejam normalmente distribuídos e que o desvio padrão seja de 20 horas.

a) Qual é a probabilidade de um trabalhador escolhido aleatoriamente passar menos de 50 horas conectados à internet?

b) Qual percentagem de trabalhadores passaram mais de 100 horas conectados à internet?

c) Uma pessoa é classificada como forte usuário se estiver entre os 20% que fazem mais uso da internet. Quantas horas uma pessoa deve manter-se conectado a internet para ser classificado como forte usuário? 

6) As vendas de determinado produto têm apresentado distribuição normal com média de 600 unidades/mês e desvio padrão 40 unidades/mês. Se a empresa decide fabricar 700 unidades naquele mês, qual a probabilidade dela não atender a todos os pedidos desse mês, por estar com a produção completa?

Resposta: 0,62%

7) Em uma distribuição normal, 29,12% dos elementos são superiores a 38 e 12,71% inferiores a 23. Encontrar a média e a variância da distribuição.

Resposta: 

8) O tempo necessário para concluir um exame final em determinado curso universitário está distribuído normalmente com uma media de 80 minutos e desvio padrão de 10 minutos. Responda as seguintes perguntas:

a) Qual é a probabilidade de alguém concluir o exame em uma hora ou menos?

b) Qualé a probabilidade de um estudante concluir o exame em mais de 60 minutos, porém, menos de 75 minutos?

c) Suponha que a classe tenha 60 alunos e que a duração do exame seja de 90 minutos. Quantos estudantes você acha que não conseguirão concluir o exame em tempo determinado?

9) Determinada classe de operários industriais tem seus salários mensais em torno de uma média de 2.000,00 u.m, com desvio padrão de 300,00 u.m. (supor normalmente distribuídos). Pede-se:

a) Encontre a probabilidade de um operário desta classe ter salário mensal situado entre 1.800,00 u.m e 2.500,00 u.m.

b) Idem, de 2.400 u.m. ou mais.

Respostas: a) 70,11%       b) 9,18%

10) As vendas mensais de um mercadinho seguem, aproximadamente, uma distribuição normal, com média igual $ 5.000,00 e desvio-padrão igual a $ 2.000,00. Calcule a probabilidade de que, em um determinado mês, as vendas:

a) sejam superiores a $ 3.500,00

b) estejam entre $ 3.800,00 e $ 5.300,00 

11) Suponha que o tempo necessário para atendimento de clientes em uma central de atendimento telefônico siga uma distribuição normal de média de 8 minutos e desvio padrão de 2 minutos.

a) Qual é a probabilidade de que um atendimento dure menos de 5 minutos?

b) E mais do que 9,5 minutos?

c) E entre 7 e 10 minutos?

Respostas: a) 6,68%    b) 22,66%    c) 53,28%

12) Os resultados de um exame nacional para estudantes recém-formados apresentaram uma, média 500 com um desvio padrão 100. Os resultados têm uma distribuição aproximadamente normal. Qual a probabilidade de que o grau de um indivíduo escolhido aleatoriamente esteja: 

a) entre 500 e 650?

b) entre 450 e 600?

c) inferior a 300?

d) superior a 650?

Respostas: a) 0,4332    b) 0,5328    c) 0,0228    d) 0,0668

13) Numa pesquisa salarial, verificou-se que o salário de determinada categoria segue uma distribuição normal com média de 15.000 u.m. e desvio-padrão de 2.000 u.m. Determine:

(a) a probabilidade de que um empregado tenha salário entre 17.000 u.m. e 18.000 u.m.

(b) quantos empregados entre 1.000, tem salário superior a 18.000 u.m.?

Respostas: a) 0,0919     b) 67

14) As notas de Estatística dos alunos de uma Universidade distribuem-se normalmente com média de 6,4 e desvio-padrão de 0,8. Em uma classe de 80 alunos, quantos terão nota:

(a) menor do que 5,0?

(b) entre 5,0 e 7,5?

(c) maior que 7,5?

Respostas: a) 3    b) 70   c) 7

15) A duração de um certo componente eletrônico é normalmente distribuída com média de 850 dias e desvio-padrão de 45 dias. Calcule a probabilidade de um componente desse tipo de componente durar:

(a) entre 700 e 1000 dias

(b) mais do que 800 dias

(c) menos do que 750 dias

Respostas: a) 0,9992    b) 0,8665    c) 0,0132

Lista de Estatística - Distribuição de Poisson

1. Determinar a probabilidade de haver 4 peças defeituosas, numa amostra de 300, extraída de um grande lote onde há 2% de defeituosas.                                                                             Resp: 0,134

1. Uma empresa vendedora de carros usados tem suas vendas distribuídas de acordo com uma distribuição de Poisson. Sabendo que a empresa vende em média seis carros por mês (considerando o mês com 30 dias de trabalho) e analisando-se uma quinzena de vendas, qual a probabilidade de a empresa vender:

1. Apenas dois carros                                                                                                      Resp: 22,40%  
2. apenas dois carros                                                                                                       Resp: 80,09%    
3. nenhum carro                                                                                                               Resp: 4,98%

1. Uma máquina produz 9 peças defeituosas a cada 1 000 peças produzidas. Calcule a probabilidade de que em um lote que contém  

1. 200 peças sejam encontradas 8 peças defeituosas.                                                    Resp: 0,00045
2. 500 peças, não haja nenhuma peça defeituosa                                                           .Resp: 0,0111

1. Um processo mecânico produz tecidos para tapetes com uma média de 2 defeitos por jarda quadrada. Determine a probabilidade de uma jarda quadrada ter exatamente 1 defeito, admitindo que um processo possa ser bem aproximado por uma distribuição de Poisson.                         Resp: 0,270

1. Suponhamos que os defeitos emfios para  tear possam ser aproximados por uma distribuição de Poisson com  média 0,2 por metro . Inspecionando pedaços de fios de 6 metros de comprimento, determine a probabilidade de encontrarmos menos de 2 defeitos.                                     Resp: 0,6626

1. As chamadas de emergência chegam a uma central de polícia na razão de 4 por hora no período de 1 as 6 da manhã em dias úteis e podem ser aproximadas por uma distribuição de Poisson. Responda:

1. Quantas chamadas são esperadas em um período de 30 minutos?
2. Qual a probabilidade de nenhuma chamada no período de 30 minutos? Resp: 0,135

1. A entrega de mercadorias em um depósito é feita a razão 2,8 caminhões por hora. Determine a probabilidade de chegarem 3 ou mais caminhões:

1. Num período de 30 minutos.                                                               Resp:P(X) = 0,1665
2. Num período de 1 hora. .                                                                      Resp:P(X) = 0,5305
3. Num período de 2 horas.                                                 .                     Resp:P(X) = 0,9176

1. O número de petroleiros que chegam a uma refinaria a cada dia ocorre segundo uma distribuição de Poisson, com média 2. As atuais instalações podem atender, no máximo, a três petroleiros por dia. Se mais de três aportarem em um dia, o excesso é enviado a outro porto. Em um dia qual a probabilidade de se enviar petroleiros para outro porto?                                                     Resp: 0,145

1. Suponha que uma aplicação de tinta em um automóvel e feita de forma mecânica, e pode produzir defeitos de fabricação, como bolhas ou áreas mal pintadas, de acordo com uma variável aleatória  que segue uma distribuição de Poisson de parâmetro  . Suponha que sorteamos um carro ao acaso para que sua pintura seja inspecionada, qual a probabilidade de encontrarmos, pelo menos,  defeito? E qual a probabilidade de encontrarmos de  a  defeitos?

                                                                                                                        Resp: 0,62212 e   0,26058

1. O número de clientes que entram em uma loja por hora é de aproximadamente igual a três. Calcule a probabilidade de:

1. Em três horas entrarem pelo menos dois clientes.                                                    Resp: 99,88%
2. Em cinco horas entrarem exatamente 14 clientes.                                                    Resp: 10,24%

1. A experiência passada indica que um número médio de 6 clientes por hora param para colocar gasolina numa bomba.

a) Qual é a probabilidade de 3 clientes pararem qualquer hora?                                      Resp: 0,08928

b) Qual é a probabilidade de 3 clientes ou menos pararem em qualquer hora?                Resp: 0,15128 

1. Uma indústria de refrigerantes recebe pedidos de seus vendedores por meio de telefone e internet. O número de pedidos que chegam por qualquer meio no horário comercial é uma variável aleatória discreta com taxa igual a cinco pedidos por hora. Calcule a probabilidade de:

1. A indústria receber apenas dois pedidos em uma hora.                                                   Resp: 8,42%
2. Receber seis, sete ou oito em duas horas.                                                                      Resp: 26,57%

Lista de Estatística - Probabilidade pt.2

1) Uma variável aleatória discreta pode assumir cinco valores, conforme a distribuição de probabilidade:

a) Encontrar o valor de p(3).

b) Qual é o valor da função para x = 5?

c) Encontrar a média da distribuição.

d) Calcular a variância e o desvio padrão da distribuição.

2) A distribuição de probabilidade de uma variável aleatória discreta X é dada pela fórmula:

p(x) = (0,8). (0,2)^{x  - 1}    para x = 1, 2, 3,...

a) Calcular p(x) para x = 1, x =2, x = 3, x = 4 e x = 5.

b) Some as probabilidades obtidas no item a. o que você diria a respeito das probabilidades para valores maiores do que 5?

3)  Definidas as variáveis aleatórias:

X = nota de um aluno do 3º A do ensino médio

Y = nota de um aluno do 3º A do ensino médio

       

a) Calcule a média e a variância de X e Y.

b) Através dos resultados obtidos no item a, compare o rendimento das duas classes.

4) Uma transportadora possui uma frota de 4 caminhões de aluguel. Sabe-se que o aluguel é feito por dia e que a distribuição diária do número de caminhões alugados é a seguinte:

 

Onde X representa o número de caminhões alugados por dia e P(X) a probabilidade de alugar caminhões em (%).

Pede-se calcular:

a) o número médio diário de caminhões alugados, bem como o desvio padrão.

b) a média e o desvio padrão do lucro diário, sabendo-se que:

• Valor do aluguel por dia é da ordem US$ 300;
• A despesa total diária com manutenção de cada veículo é igual a US$ 140, quando este é alugado no dia, e de US$ 15 quando tal fato não acontece.

Resposta: a) E(X) = 2,1 caminhões/dia  e DP(X) = 1,13 caminhões/dia  b) L(X) = US$ 307,50  e DP do lucro = US$ 198,76

5) Existem 90% de probabilidade de que um certo tipo de componente se comporte de forma adequada sob condições de elevadas temperaturas. Se o dispositivo em questão tem quatro de tais componentes, determinar a probabilidade de cada um dos eventos.

a) Todos os componentes se comportam de forma adequada e, por conseguinte, o dispositivo funciona.

b) o dispositivo não funciona porque falha um dos quatro componentes.

Resp: a) 0,6561      b) 0,2916

6) Suponha que 40% dos empregados horistas de uma grande empresa estejam a favor da representação sindical e que se peça uma resposta anônima a uma amostra aleatória de 10 empregados. Qual a probabilidade de estarem a favor da representação sindical:

a)  menos que 40% dos empregados?

b) mais que 80% dos empregados?

7) A probabilidade de um estudante, que ingressa em uma universidade, de graduar-se é de 0,4. Determinar a probabilidade de, entre 5 estudantes:

a) nenhum estudante se graduar.

b) um estudante se graduar.

c) pelo menos um estudante se graduar.

Resposta: a) 0,08    b) 0,26   c) 0,92

8) Num determinado processo de fabricação 10% das peças são consideradas defeituosas. As peças são acondicionadas em caixas com 5 unidades cada uma.

a) Qual a probabilidade de haver exatamente 3 peças defeituosas numa caixa?

b) Qual a probabilidade de haver duas ou mais peças defeituosas numa caixa?

c) Se a empresa paga uma multa de R$ 10,00 por caixa em que houver alguma peça defeituosa, qual o valor esperado da multa num total de 1.000 caixas?

Respostas: a) 0,81%    b) 8,15%   c) R$ 4.095,00

9) A probabilidade de que um cliente potencial escolhido aleatoriamente faça uma compra é 0,20. Se um representante de venda contata seis clientes potenciais, determine a probabilidade de:

a) que exatamente quatro vendas sejam feitas.

b) que o representante de vendas faça quatro ou mais vendas.

Respostas: a) 0,15%    b) 1,7%

10) Durante um determinado ano, 70% dos lotes de ações da Bolsa de Valores de Nova York aumentaram seu valor de mercado, enquanto 30% permaneceram inalterado ou diminuiu o valor de mercado. No início do ano um serviço de consultoria para acionistas escolheu 10 lotes de ações como sendo “especialmente recomendado”. Se os 10 lotes representam uma seleção aleatória, qual a probabilidade:

a) todos os 10 aumentem seu valor de mercado?

b) pelo menos oito aumentem seu valor de mercado?

Respostas: a) 2,82%    b) 38,28%

11) Um time de futebol tem 72% de probabilidade de vitória sempre que joga. Se jogar sete partidas, calcule a probabilidade de ele:

a) vencer exatamente três partidas.

b) vencer ao menos uma partida.

c) vencer mais da metade das partidas.

Respostas: a) 8,03%    b) 99,99%   c) 89,84%

12) Um curso de treinamento aumenta a produtividade de uma certa população de funcionários em 80% dos casos. Se dez funcionários quaisquer participam deste curso, encontre a probabilidade de:

a) exatamente sete funcionários aumentarem a produtividade.

b) exatamente dois funcionários não aumentarem a produtividade.

Respostas: a) 20,13%   b) 30,19%

13) Se uma moeda é lançada cinco vezes, a distribuição de probabilidade em relação ao número de caras observadas é baseada na distribuição binomial, com n = 5 e p = 0,50 (na tabela abaixo).

a) o número esperado de caras

b) o desvio padrão e a variância

Respostas: a) 2,50   b) 1,2504  e  1,12

14) Sabe-se que X possui uma distribuição binomial com média 3 e variância 2,1. Pede-se determinar

 P(X =9).

Resposta: 0,0001377